Limites aux bornes

Propriété

\(\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^x=0\)  et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\infty\) .

Démonstration

Limite en \(+\infty\)
On considère la fonction \(f\) définie sur  \([0 \ ;+\infty[\) par \(f(x)=\text{e}^x-x\) . 
\(f\)  est définie et dérivable sur  \([0 \ ;+\infty[\) et \(\forall x \in [0\ ; +\infty[, \ f'(x)=\text{e}^x-1\) .
La fonction exponentielle étant croissante sur \(\mathbb{R}\) , pour tout réel \(x \geqslant 0\) , \(\text{e}^x \geqslant \text{e}^0\) .
Comme  \(\text{e}^0=1\) , on en déduit donc que, sur \([0 \ ;+\infty[,~f'(x) \geqslant 0\) .
Ainsi  \(f\) est croissante sur  \([0 \ ;+\infty[\) , et comme \(f(0)=\text{e}^0=1\) ,  \(f\) est positive sur  
\([0 \ ;+\infty[\) .
\(\forall x \geqslant 0,\ f(x)\geqslant 0 \Longleftrightarrow \text{e}^x \geqslant x\) .
Pour tout réel  \(x\geqslant 0,~\text{e}^x \geqslant x\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty}x=+\infty\) .
D'après le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\infty\) .

Limite en \(-\infty\)  
\(\forall x \in \mathbb{R},\ \text{e}^x=\displaystyle\frac{1}{\text{e}^{-x}}\)
\(\lim\limits_\color{green}{x \to -\infty}-x=\color{red}{+\infty}\)  et  \(\lim\limits_{\color{red}{X \to +\infty}}\text{e}^X=\color{blue}{+\infty}\) donc par composée \(\lim\limits_\color{green}{x \to -\infty}\text{e}^{-x}=\color{blue}{+\infty}\) .
Par inverse, \(\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{1}{\text{e}^{-x}}=0\) .